3D计算公式精准解析，从基础到高级3d计算公式精准100%

本文目录导读：

1. 3D计算的基础：坐标系与向量运算
2. 投影与裁剪：3D到2D的转换
3. 变换：坐标系的转换
4. 高级3D计算：光照与曲线曲面

3D计算的基础：坐标系与向量运算

1 坐标系

3D空间中的点可以用笛卡尔坐标系来表示,通常使用x、y、z三个轴来定义位置，在3D计算中，常见的坐标系包括：

• 笛卡尔坐标系：由三个正交的轴（x、y、z）组成，原点为(0, 0, 0)。
• 齐次坐标系：在3D中加入一个齐次坐标w，用于表示投影变换，齐次坐标系将三维点表示为(x, y, z, w)，其中w=1表示有限远点，w=0表示无穷远点。

2 向量运算

向量是3D计算的核心元素,用于表示方向和位置，以下是常见的向量运算公式：

1. 向量加法
   向量加法满足交换律和结合律，对于向量A = (A_x, A_y, A_z)和B = (B_x, B_y, B_z)，向量加法公式为： [ A + B = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z) ] 向量加法用于计算物体的位移。

2. 标量乘法
   标量乘法将向量的每个分量乘以标量k： [ k \cdot A = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z) ] 标量乘法用于缩放向量。

3. 点积
   点积是两个向量的标量乘积，用于计算两个向量之间的夹角，点积公式为： [ A \cdot B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z ] 点积的结果可以用来计算两个向量之间的角度： [ \cos\theta = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|} ] (|A|)和(|B|)分别是向量A和B的模长。

4. 叉积
   叉积是两个向量的向量乘积，用于计算垂直于两个向量的向量，叉积公式为： [ A \times B = (A_y \cdot B_z - A_z \cdot B_y, A_z \cdot B_x - A_x \cdot B_z, A_x \cdot B_y - A_y \cdot B_x) ] 叉积的结果向量的模长等于两个向量所构成的平行四边形的面积。

5. 模长计算
   向量的模长表示向量的长度，计算公式为： [ |A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} ] 模长用于计算物体的大小或距离。

投影与裁剪：3D到2D的转换

1 正交投影

正交投影是将3D物体投影到2D平面的一种方法,通常用于工程制图和计算机辅助设计，正交投影的公式为： [ P = (x, y, 0) ] P是投影后的2D点，x和y是原3D点的x和y坐标。

2 透视投影

透视投影是更符合人眼视觉效果的投影方式,用于将3D物体投影到2D视口，透视投影的公式为： [ P = \left( \frac{x \cdot f}{z + f}, \frac{y \cdot f}{z + f}, 0 \right) ] f是焦点距离，z是原3D点的z坐标。

3 齐次坐标裁剪

齐次坐标用于表示3D点,并在投影后进行裁剪，齐次坐标裁剪的公式为： [ \text{裁剪条件：} \quad -1 \leq \frac{x}{w} \leq 1, \quad -1 \leq \frac{y}{w} \leq 1 ] w是齐次坐标的第四个分量。

变换：坐标系的转换

1 模型变换

模型变换用于将物体从模型坐标系转换到世界坐标系,模型变换的公式为： [ P' = M \cdot P ] M是模型矩阵，P是原点坐标，P'是变换后的坐标。

2 视图变换

视图变换用于将物体从世界坐标系转换到观察坐标系,视图变换的公式为： [ P' = V \cdot M \cdot P ] V是视图矩阵，M是模型矩阵。

3 投影变换

投影变换用于将物体从观察坐标系转换到屏幕坐标系,投影变换的公式为： [ P' = E \cdot P ] E是投影矩阵。

4 组合变换

组合变换是将模型、视图和投影矩阵组合在一起，用于完成完整的坐标转换，组合变换的公式为： [ P' = (P \cdot M) \cdot V \cdot E ] M是模型矩阵，V是视图矩阵，E是投影矩阵。

高级3D计算：光照与曲线曲面

1 光照模型

光照模型用于模拟物体在不同光照条件下的反射和折射效果,常见的光照模型包括：

1. Phong光照模型
   Phong光照模型用于计算物体表面的反射光，反射光的强度与物体表面的法向量与光照方向之间的夹角有关，反射光的计算公式为： [ I{\text{refl}} = I{\text{light}} \cdot \cos\theta \cdot K{\text{refl}} ] (\theta)是法向量与光照方向之间的夹角，(K{\text{refl}})是反射光的强度。

2. Lambertian光照模型
   Lambertian光照模型用于模拟均匀反射的物体表面，反射光的强度与光照方向与法向量之间的夹角的余弦值成正比，反射光的计算公式为： [ I{\text{refl}} = I{\text{light}} \cdot \cos\theta \cdot K_{\text{refl}} ] 与Phong模型相同，但假设物体表面是漫反射的。

2 曲线与曲面计算

曲线和曲面的计算是3D建模中的重要部分,以下是常见的曲线和曲面计算公式：

1. 贝塞尔曲线
   贝塞尔曲线是由控制点定义的曲线，其计算公式为： [ B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i \cdot \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n - i} ] P_i是控制点，t是参数，范围在[0, 1]之间。

2. B样条曲线
   B样条曲线是贝塞尔曲线的扩展，其计算公式为： [ B(t) = \sum_{i=0}^{m} P_i \cdot N_i(t) ] N_i(t)是B样条基函数。

3. 贝塞尔曲面
   贝塞尔曲面是贝塞尔曲线在三维空间中的扩展，其计算公式为： [ S(u, v) = \sum{i=0}^{n} \sum{j=0}^{m} P{i,j} \cdot \binom{n}{i} u^i (1 - u)^{n - i} \cdot \binom{m}{j} v^j (1 - v)^{m - j} ] P{i,j}是控制点，u和v是参数，范围在[0, 1]之间。

4. B样条曲面
   B样条曲面是B样条曲线在三维空间中的扩展，其计算公式为： [ S(u, v) = \sum{i=0}^{m} \sum{j=0}^{n} P_{i,j} \cdot N_i(u) \cdot N_j(v) ] N_i(u)和N_j(v)是B样条基函数。

3D计算公式是现代3D技术的基础,从基础的坐标系和向量运算到高级的投影、变换和光照模型，每一步都需要精准的数学支持，掌握这些公式不仅有助于理解3D技术的原理，还能在实际应用中开发出更高质量的3D内容。

通过本文的详细解析,您可以掌握3D计算的核心公式及其应用，从而在3D建模、渲染和动画等领域实现精准的计算和高效的结果。